【蓝桥杯】高频算法考点及真题详解小结

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📚目录

📖【蓝桥杯】高频算法考点及例题详解小结

📝1️⃣贪心算法之区间问题详解

📝2️⃣动态规划之经典包子凑数

📝3️⃣动态规划解决最大乘积系列问题(碾压暴力枚举)

📝4️⃣分治算法实现经典归并排序

📝5️⃣枚举算法经典日期问题详解

📝6️⃣BFS广搜解决迷宫问题

📝7️⃣DFS连通块问题

📝8️⃣DFS方格分割

📝9️⃣迪杰斯特拉 (Dijkstra)算法求最短路径问题


📖【蓝桥杯】高频算法考点及例题详解小结


📝1️⃣贪心算法之区间问题详解

1.什么是贪心算法

基本思想

1)贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时,在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择,从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法。
2)贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解),但是都是相对近似(接近)最优解的结果。

局限性

贪心算法失效的很大一个原因在于它明显的局限性:它几乎只考虑局部最优解。 所谓局部最优,就是只考虑当前的最大利益,既不向前多看一步,也不向后多看一步,导致每次都只用当前阶段的最优解。 因此在绝大多数情况下,贪心算法不能得到整体最优解,但它的解是最优解的一个很好近似。

2.经典例题

区间问题

给定多个区间,计算让这些区间互不重叠所需要移除区间的最少个数。起止相连不算重叠。

输入输出样例


输入:是一个数组,数组由多个长度固定为2的数组组成,表示区间的开始和结尾。

输出:一个整数,表示需要移除的区间数量。

Input :[1,2],[2,4],[1,3]]
Output :1

在这个样例中,我们可以移除区间[1,3],使得剩余的区间[1,2],[2,4]]互不重叠。

贪心策略

在选择要保留区间时,区间的结尾很重要:选择的区间结尾越小,余留给其它区间的空间
就越大,就越能保留更多的区间。

因此,我们采取的贪心策略为,优先保留结尾小且不相交的区间。具体实现方法为:

1.先把区间按照结尾的大小进行增序排序

2.每次选择结尾最小且和前一个选择的区间不重叠的区间。

在样例中,排序后的数组为[1,2],[1,3],[2,4]]。按照我们的贪心策略,首先初始化为区间[1,2];由于[1,3]与[1,2]相交,我们跳过该区间;由于[2,4]与[1,2]不相交,我们将其保留。因此最终保留的区间为[1,2],[2,4]。

3.代码实现


📝2️⃣动态规划之经典包子凑数

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有NN种蒸笼,其中第ii种蒸笼恰好能放A_iAi​个包子。每种蒸笼都有非常多笼,可以认为是无限笼。

每当有顾客想买XX个包子,卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来,使得这若干笼中恰好一共有XX个包子。比如一共有33种蒸笼,分别能放3、43、4和55个包子。当顾客想买1111个包子时,大叔就会选22笼33个的再加11笼55个的(也可能选出11笼33个的再加22笼44个的)。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有33种蒸笼,分别能放4、54、5和66个包子。而顾客想买77个包子时,大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入

第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)

2
4
5

输出

一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个,输出INF。

6

动态规划思想

在讲动态规划思想前,本题还使用到了经典数论Ax+By=C(x,y>0)问题:若A,B互质,则有无限个C时的方程无解。否则可能有解。推广到a,b,…,n同时成立。可以利用这个思想求是否有无穷个包子数凑不出来。

所以本题中可以类似的用a1,a2,…an表示能放的包子的个数,找到合适的x,y,…….n凑出C。如果方程有解则能凑出,否则不能凑出。至于求最大公约数可以利用辗转相除法求。

然后本题就可以类似背包问题,使用到一个boolean[] dp,下标index表示index个包子是否能够凑出。当dp[i] 即i个包子可以凑出的话,那么j个包子+第i种蒸笼恰好能放Ai个包子:arr[i]也能够凑出来即index=(j+arr[i])个包子也能够凑出来:dp[j + arr[i]] = true;动态规划的思想就体现在这,另外为了节省时间,在录入数据的同时,就可以对dp[]数据进行更新。

具体代码


📝3️⃣动态规划解决最大乘积系列问题(碾压暴力枚举)

1.例题

题目描述

输入n个元素组成的子串S,你需要找出一个乘积最大的连续的子串。

如果这个最大的乘积不是正数,应输出0(表示无解)。

输入

第一行是一个整数n(1<=n<=18)。

第二行是n个整数。其中每个整数的范围是[-10,10]。

输出

输出一行包含一个整数,输出最大乘积。

测试数据

见代码。

2. 思路分析

基本思想

题目类似背包问题,,其基本思想可以使用动态规划:记住已经解决过的子问题的解。求解,即在遍历数据的时候,将遍历过程中求得的最大乘积记录下来,再继续遍历,通过每次遍历,动态的更新最大乘积,最终求得的就是最终解。

对于此类题目可以定义两个变量max和min,用来记录过程中的最大值和最小值。cur表示计算过程中的当前要计算的数据。每次计算过程中,max取Max.(cur,cur*max,cur*min)中的最大值,min取Min.(cur,cur*max,cur*min)中的最小值。

具体步骤

1) 初始化cur,max,min数据,默认都为第一个数。

2)循环计算数组元素。

3)每次循环max,min都乘以当前元素cur。并用临时变量保存。

4)计算新的max和min并重新赋值。

5)计算过程中新的最大值ans=Max(max,ans)。

6)遍历完后打印ans。

3.代码实现

4.DP小结

注意

动态规划( Dynamic Programming )算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解)
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解.


📝4️⃣分治算法实现经典归并排序

1.什么是分治算法

分治法

分治法,字面意思是“分而治之”,就是把一个复杂的1问题分成两个或多个相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题直到最后子问题可以简单地直接求解,原问题的解即子问题的解的合并,这个思想是很多高效算法的基础,例如排序算法(快速排序,归并排序),傅里叶变换(快速傅里叶变换)等。

基本思想

分治法的基本思想:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。

2.分治算法的体现:归并排序

归并排序

归并排序( MERGE - SORT )是利用归并的思想实现的排序方法,该算法采用经典的分治( divide – and – conquer )策略(分治法将问题分( divide )成一些小的问题然后递归求解,而治( conquer )的阶段则将分的阶段得到的各答案”修补”在一起,即分而治之)。

基本思想

流程图(以对数组[8,4,5,7,1,3,6,2]排序为例)

watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBA5rGC5LiN6ISx5Y-R,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16

再来看看治阶段,我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列,比如上图中的最后一次合并,要将
[4,5,7,8]和[1,2,3,6]两个已经有序的子序列,合并为最终序列[1,2,3,4,5,6,7,8],来看下实现步骤。

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3.代码实现


📝5️⃣枚举算法经典日期问题详解

枚举算法

枚举算法是我们在日常中使用到的最多的一个算法,它的核心思想就是:枚举所有的可能。 枚举法的本质就是从所有候选答案中去搜索正确的解。

使用该算法需要满足两个条件:(1)可预先确定候选答案的数量;(2)候选答案的范围在求解之前必须有一个确定的集合。

枚举算法简单粗暴,他暴力的枚举所有可能,尽可能地尝试所有的方法。虽然枚举算法非常暴力,而且速度可能很慢,但确实我们最应该优先考虑的!因为枚举法变成实现最简单,并且得到的结果总是正确的。

日期问题

题目链接竞码编程_少儿编程培训_NOIP培训_CSP培训_蓝桥杯培训|编程教育机构

题目描述

小明正在整理一批历史文献。这些历史文献中出现了很多日期。小明知道这些日期都在1960年1月1日至2059年12月31日。令小明头疼的是,这些日期采用的格式非常不统一,有采用年/月/日的,有采用月/日/年的,还有采用日/月/年的。更加麻烦的是,年份也都省略了前两位,使得文献上的一个日期,存在很多可能的日期与其对应。
比如02/03/04,可能是2002年03月04日、2004年02月03日或2004年03月02日。
给出一个文献上的日期,你能帮助小明判断有哪些可能的日期对其对应吗?

输入

一个日期,格式是"AA/BB/CC"。 (0 <= A, B, C <= 9)

输出

输出若干个不相同的日期,每个日期一行,格式是"yyyy-MM-dd"。多个日期按从早到晚排列。

样例

输入
02/03/04
输出

2002-03-04

2004-02-03

2003-03-02

枚举思想

日期问题一般思路都是根据我们的尝试枚举判断日期是否合法等,例如月份1-12,日期1-31或闰年的判断等等。重点在于枚举出所有日期的情况去判断,找出正确答案,避免重复枚举或缺项。

具体代码


📝6️⃣BFS广搜解决迷宫问题

1.例题

题目描述

迷宫由 n 行 m 列的单元格组成,每个单元格要么是空地,要么是障碍物。其中1表示空地,可以走通,2表示障碍物。给定起点坐标startx,starty以及终点坐标endx,endy。现请你找到一条从起点到终点的最短路径长度。

输入

第一行包含两个整数n,m(1<=n,m<=1000)。接下来 n 行,每行包含m个整数(值1或2),用于表示这个二维迷宫。接下来一行包含四个整数startx,starty,endx,endy,分别表示起点坐标和终点坐标。

输出

如果可以从给定的起点到终点,输出最短路径长度,否则输出NO。

测试数据

输入

5 4
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 2 1
1 2 1 1
1 1 1 2
输出

7

watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETiBA5rGC5LiN6ISx5Y-R,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16

2. 思路分析

基本思想

这道题属于一道较为经典的BFS图的广度优先搜索算法例题。类似于一个分层搜索的过程,广度优先搜索需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序访问这些结点的邻接结点。即从给定的起点开始向四周扩散,判断是否能够到达终点,如果不能,就继续BFS广搜,直到能够到达终点或者将所有结点遍历完一遍。在搜索前定义一个flag变量用来标记是否到达终点。

具体步骤

1)访问初始结点 p 并标记结点 p 为已访问。

2)结点 p 入队列

3)当队列非空时,继续执行,否则算法结束。

4)出队列取得队头结点 first

5)查找结点 first 的第一个方向的邻接结点 newp 。

6)若结点 first 的邻接结点 newp 不存在,则转到步骤3:否则循环执行以下三个步骤:
6.1若结点 newp 尚未被访问并且可以走通,则访问结点 newp 并标记为已访问。
6.2结点 newp 入队列
6.3查找结点 first 的继 newp 邻接结点后的下个邻接结点 newp .转到步骤6

代码实现

3.BFS小结

求解思路:

将队首结点可拓展的点入队,如果没有可拓展的点,将队首结点出队。重复以上步骤,直到到达目标位置或者队列为空。

注意

bfs先找到的一定是最短的。但是如果是加权边的话这样就会出问题了,bfs传回的是经过 边数 最少的解,但是因为加权了,这个解到根节点的 距离 不一定最短。 比如1000+1000是只有两段,1+1+1+1有4段,由于bfs返回的经过边数最少的解,这里会返回总长度2000的那个解,显然不是距离最短的路径 。BFS 运用到了队列。


📝7️⃣DFS连通块问题

前言

连通块问题属于图的深度优先遍历dfs,本文章通过求连通块的个数简单案例,来介绍dfs解决连通块问题。

例题链接

竞码编程_少儿编程培训_NOIP培训_CSP培训_蓝桥杯培训|编程教育机构

例题中给到的是char类型地图,' . ' 代表不通路,' W ' 代表可连通,具体情况根据题目给的进行修改。

什么是连通块

如图整个表格为一个5*5二维数组,用来表示整个地图,白色填充为二维数组下标,最外层浅绿色代表地图的边界(为什么创建边界下文有提到),较为深颜色的为存放数据的二维数组,即下标(1~4)*(1~4)。而颜色最深的块就是连通块,图中给出的就有三个连通块(上下左右连通,不考虑斜对连通)。

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具体思路

除了行数列数以及开辟二维数组地图,还需要一个与地图同样大小的二维数组visitied,用来表示当前节点是否已经被访问过了。具体思路同图的dfs类似,当遍历到一个结点为1表示该节点可以连通(根据题目给的可能不同)并且没被访问过就进行深度遍历。

具体看代码。

代码

注意

在实际应用时,为了防止当结点位于边界时,例如结点下标为(0,0),其左结点下标为(-1,0),这时-1会越界。因此开辟二维数组的大小总是比题目中给到的n*m多两行,即开辟(n+2)*(m+2)大小的二维数组。


📝8️⃣DFS方格分割

问题描述

6×6的方格,沿着格子的边线剪开成两部分。
要求这两部分的形状完全相同。
试计算:
一共有多少种不同的分割方法。
注意:旋转对称的属于同一种分割法。
请提交该整数,不要填写任何多余的内容或说明文字。

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具体思路

既然要求剪下来的两部分完全相同,那么剪的路线一定通过图的中心点,并且分割线一定关于中心点对称。因此可以以图中的交点为元素,将6*6的方格转换成7*7的网格,从中心点开始对称的向边界dfs深度遍历,即从中心点开始向上下左右标记的同时,对称的位置也要标记。例如(3,3)->(4,3)的同时,(3,3) -> (2,3)也要标记。当遍历到网格的边界即剪完成,然后进行回溯。

代码


📝9️⃣迪杰斯特拉 (Dijkstra)算法求最短路径问题

算法介绍

迪杰斯特拉( Dijkstra )算法是典型最短路径算法,用于计算一个结点到其他结点的最短路径。它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。

应用实例

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算法步骤

1)设置出发顶点为 v ,顶点集合 VfvI ,v2, vi .), v 到 V 各顶点的距离构成距离集合 Dis , Dis ( dI ,d2, di .), Dis 集合记录着 v 到图中各顶点的距离(到自身可以看作0, v 到 vi 距离对应为 di )
2)从 Dis 中选择值最小的 di 并移出 Dis 集合,同时移出 V 集合中对应的项点 vi ,此时的 v 到 vi 即为最短路径
3)更新 Dis 集合,更新规则为:比较 v 到 V 集合中顶点的距离值,与 v 通过 vi 到 V 集合中顶点的距离值,保留
值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为 vi ,表明是通过 vi 到达的)
4)重复执行两步骤,直到最短路径顶点为目标顶点即可结束。

代码实现

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作者: HUI

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